3.53 \(\int \frac{\coth (x)}{(a+b \coth ^4(x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=74 \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right )}{2 (a+b)^{3/2}}-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}} \]

[Out]

ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (a - b*Coth[x]^2)/(2*a*(a +
b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.12001, antiderivative size = 74, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 15, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.4, Rules used = {3670, 1248, 741, 12, 725, 206} \[ \frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right )}{2 (a+b)^{3/2}}-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Coth[x]/(a + b*Coth[x]^4)^(3/2),x]

[Out]

ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])]/(2*(a + b)^(3/2)) - (a - b*Coth[x]^2)/(2*a*(a +
b)*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])

Rule 3670

Int[((d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((a_) + (b_.)*((c_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_))^(p_.), x_Symbol]
:> With[{ff = FreeFactors[Tan[e + f*x], x]}, Dist[(c*ff)/f, Subst[Int[(((d*ff*x)/c)^m*(a + b*(ff*x)^n)^p)/(c^
2 + ff^2*x^2), x], x, (c*Tan[e + f*x])/ff], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m, n, p}, x] && (IGtQ[p, 0] || EqQ
[n, 2] || EqQ[n, 4] || (IntegerQ[p] && RationalQ[n]))

Rule 1248

Int[(x_)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(q_.)*((a_) + (c_.)*(x_)^4)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[Int[(d + e*x)^q
*(a + c*x^2)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, c, d, e, p, q}, x]

Rule 741

Int[((d_) + (e_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (c_.)*(x_)^2)^(p_), x_Symbol] :> -Simp[((d + e*x)^(m + 1)*(a*e + c*d*x)*(
a + c*x^2)^(p + 1))/(2*a*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2)), x] + Dist[1/(2*a*(p + 1)*(c*d^2 + a*e^2)), Int[(d + e*x)^m*
Simp[c*d^2*(2*p + 3) + a*e^2*(m + 2*p + 3) + c*e*d*(m + 2*p + 4)*x, x]*(a + c*x^2)^(p + 1), x], x] /; FreeQ[{a
, c, d, e, m}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && LtQ[p, -1] && IntQuadraticQ[a, 0, c, d, e, m, p, x]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 725

Int[1/(((d_) + (e_.)*(x_))*Sqrt[(a_) + (c_.)*(x_)^2]), x_Symbol] :> -Subst[Int[1/(c*d^2 + a*e^2 - x^2), x], x,
(a*e - c*d*x)/Sqrt[a + c*x^2]] /; FreeQ[{a, c, d, e}, x]

Rule 206

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(1*ArcTanh[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[a, 2]])/(Rt[a, 2]*Rt[-b, 2]), x]
/; FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (GtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\coth (x)}{\left (a+b \coth ^4(x)\right )^{3/2}} \, dx &=\operatorname{Subst}\left (\int \frac{x}{\left (1-x^2\right ) \left (a+b x^4\right )^{3/2}} \, dx,x,\coth (x)\right )\\ &=\frac{1}{2} \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \left (a+b x^2\right )^{3/2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )\\ &=-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{a}{(1-x) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 a (a+b)}\\ &=-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(1-x) \sqrt{a+b x^2}} \, dx,x,\coth ^2(x)\right )}{2 (a+b)}\\ &=-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{a+b-x^2} \, dx,x,\frac{-a-b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right )}{2 (a+b)}\\ &=\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right )}{2 (a+b)^{3/2}}-\frac{a-b \coth ^2(x)}{2 a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.480208, size = 73, normalized size = 0.99 \[ \frac{1}{2} \left (\frac{\tanh ^{-1}\left (\frac{a+b \coth ^2(x)}{\sqrt{a+b} \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right )}{(a+b)^{3/2}}-\frac{a-b \coth ^2(x)}{a (a+b) \sqrt{a+b \coth ^4(x)}}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Coth[x]/(a + b*Coth[x]^4)^(3/2),x]

[Out]

(ArcTanh[(a + b*Coth[x]^2)/(Sqrt[a + b]*Sqrt[a + b*Coth[x]^4])]/(a + b)^(3/2) - (a - b*Coth[x]^2)/(a*(a + b)*S
qrt[a + b*Coth[x]^4]))/2

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.022, size = 431, normalized size = 5.8 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(coth(x)/(a+b*coth(x)^4)^(3/2),x)

[Out]

b*(-1/4/a/(a+b)*coth(x)^3+1/4/a/(a+b)*coth(x)^2-1/4/a/(a+b)*coth(x)-1/4/(a+b)/b)/((coth(x)^4+a/b)*b)^(1/2)-1/2
/(a+b)*(-1/2/(a+b)^(1/2)*arctanh(1/2*(2*b*coth(x)^2+2*a)/(a+b)^(1/2)/(a+b*coth(x)^4)^(1/2))+1/(I/a^(1/2)*b^(1/
2))^(1/2)*(1-I/a^(1/2)*b^(1/2)*coth(x)^2)^(1/2)*(1+I/a^(1/2)*b^(1/2)*coth(x)^2)^(1/2)/(a+b*coth(x)^4)^(1/2)*El
lipticPi(coth(x)*(I/a^(1/2)*b^(1/2))^(1/2),-I*a^(1/2)/b^(1/2),(-I/a^(1/2)*b^(1/2))^(1/2)/(I/a^(1/2)*b^(1/2))^(
1/2)))+b*(1/4/a/(a+b)*coth(x)^3+1/4/a/(a+b)*coth(x)^2+1/4/a/(a+b)*coth(x)-1/4/(a+b)/b)/((coth(x)^4+a/b)*b)^(1/
2)-1/2/(a+b)*(-1/2/(a+b)^(1/2)*arctanh(1/2*(2*b*coth(x)^2+2*a)/(a+b)^(1/2)/(a+b*coth(x)^4)^(1/2))-1/(I/a^(1/2)
*b^(1/2))^(1/2)*(1-I/a^(1/2)*b^(1/2)*coth(x)^2)^(1/2)*(1+I/a^(1/2)*b^(1/2)*coth(x)^2)^(1/2)/(a+b*coth(x)^4)^(1
/2)*EllipticPi(coth(x)*(I/a^(1/2)*b^(1/2))^(1/2),-I*a^(1/2)/b^(1/2),(-I/a^(1/2)*b^(1/2))^(1/2)/(I/a^(1/2)*b^(1
/2))^(1/2)))

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (x\right )}{{\left (b \coth \left (x\right )^{4} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*coth(x)^4)^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(coth(x)/(b*coth(x)^4 + a)^(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 5.51011, size = 10031, normalized size = 135.55 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*coth(x)^4)^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(((a^2 + a*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - a*b)*cosh(x)
^6 + 4*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 - a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - a*b)*cosh(x))*s
inh(x)^5 + 6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*b)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 3*a*b)*s
inh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 -
a*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 - a^2 + a*b)
*sinh(x)^2 + a^2 + a*b + 8*((a^2 + a*b)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 - a*b)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 - (a^2 -
a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(a + b)*log(((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)
^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 - a^2 + b^2)
*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 2*(3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)
*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*sinh(x)^4
+ 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - b^2)*cosh(x)^3 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x))*sinh(x)^3
- 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - b^2)*cosh(x)^4 + 3*(3*a^2 + 2*a*b +
3*b^2)*cosh(x)^2 - a^2 + b^2)*sinh(x)^2 + sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*
sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a + b)*cosh(x)^3 - (a - b)*c
osh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(a + b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 - 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*
(a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2
- 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 - b^2)*co
sh(x)^5 + (3*a^2 + 2*a*b + 3*b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x))/(cosh(x)^4 + 4*cosh(x)^3*sinh(x) +
6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 + 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)) - 2*sqrt(2)*((a^2 - b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 - b^2)*
cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 - b^2)*sinh(x)^4 - 2*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 - a^2
- 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 - b^2 + 4*((a^2 - b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(
((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 - 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*b)*sinh(x)^2 +
3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^
4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 +
3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^6 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^
2 - a*b^3 - 7*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b
^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*c
osh(x)^4 + 2*(35*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^4 + 9*a^3*b + 9*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - 30*(a
^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3 + 8*(7*(a^4 + 3*a^3*b +
3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^3 + 3*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 +
a*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*
b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^4 - a^4 - a^3*b + a^2*b^2 + a*b^3 + 9*(a^4 + 3*a^3
*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^4 + a^3
*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^5 + 3*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^3 - (a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a
*b^3)*cosh(x))*sinh(x)), -1/2*(((a^2 + a*b)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + a*b)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + a*b)*sinh(x)^
8 - 4*(a^2 - a*b)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^2 - a^2 + a*b)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^3 -
3*(a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^2 + a*b)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + a*b)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - a*b)*cos
h(x)^2 + 3*a^2 + 3*a*b)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - a*b)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + a*b)*cosh
(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 - a*b)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + a*b)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - a*b)*cosh(x)^4 + 9*(a^2 + a*
b)*cosh(x)^2 - a^2 + a*b)*sinh(x)^2 + a^2 + a*b + 8*((a^2 + a*b)*cosh(x)^7 - 3*(a^2 - a*b)*cosh(x)^5 + 3*(a^2
+ a*b)*cosh(x)^3 - (a^2 - a*b)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(-a - b)*arctan(sqrt(2)*((a + b)*cosh(x)^4 + 4*(a + b)*co
sh(x)*sinh(x)^3 + (a + b)*sinh(x)^4 - 2*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - a + b)*sinh(x)^2 + 4*((a
+ b)*cosh(x)^3 - (a - b)*cosh(x))*sinh(x) + a + b)*sqrt(-a - b)*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 -
4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*cosh(x)^2 - 2*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh
(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4))/((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^8 + 8*(a^2 + 2*a*
b + b^2)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^2 + 2*a*b + b^2)*sinh(x)^8 - 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^6 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2
)*cosh(x)^2 - a^2 + b^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 - 3*(a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6
*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^4 - 30*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 3*a^2 + 6*a*
b + 3*b^2)*sinh(x)^4 + 8*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^5 - 10*(a^2 - b^2)*cosh(x)^3 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*c
osh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 + 4*(7*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^6 - 15*(a^2 - b^2)*cosh(x)^4 +
9*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 - a^2 + b^2)*sinh(x)^2 + a^2 + 2*a*b + b^2 + 8*((a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^7
- 3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^5 + 3*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 - b^2)*cosh(x))*sinh(x))) + sqrt(2)*((a^2 -
b^2)*cosh(x)^4 + 4*(a^2 - b^2)*cosh(x)*sinh(x)^3 + (a^2 - b^2)*sinh(x)^4 - 2*(a^2 + 2*a*b + b^2)*cosh(x)^2 +
2*(3*(a^2 - b^2)*cosh(x)^2 - a^2 - 2*a*b - b^2)*sinh(x)^2 + a^2 - b^2 + 4*((a^2 - b^2)*cosh(x)^3 - (a^2 + 2*a*
b + b^2)*cosh(x))*sinh(x))*sqrt(((a + b)*cosh(x)^4 + (a + b)*sinh(x)^4 - 4*(a - b)*cosh(x)^2 + 2*(3*(a + b)*co
sh(x)^2 - 2*a + 2*b)*sinh(x)^2 + 3*a + 3*b)/(cosh(x)^4 - 4*cosh(x)^3*sinh(x) + 6*cosh(x)^2*sinh(x)^2 - 4*cosh(
x)*sinh(x)^3 + sinh(x)^4)))/((a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^8 + 8*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*
b^3)*cosh(x)*sinh(x)^7 + (a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*sinh(x)^8 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cos
h(x)^6 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3 - 7*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^6 + 8*(7*
(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^3 - 3*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^5 + 6*(a^4
+ 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^4 + 2*(35*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^4 + 3*a^4 + 9*a^3
*b + 9*a^2*b^2 + 3*a*b^3 - 30*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^4 + a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2
+ a*b^3 + 8*(7*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^5 - 10*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^3 +
3*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x))*sinh(x)^3 - 4*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^2 + 4*(7
*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^6 - 15*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^4 - a^4 - a^3*b +
a^2*b^2 + a*b^3 + 9*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x)^2)*sinh(x)^2 + 8*((a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 +
a*b^3)*cosh(x)^7 - 3*(a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x)^5 + 3*(a^4 + 3*a^3*b + 3*a^2*b^2 + a*b^3)*cosh(x
)^3 - (a^4 + a^3*b - a^2*b^2 - a*b^3)*cosh(x))*sinh(x))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth{\left (x \right )}}{\left (a + b \coth ^{4}{\left (x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*coth(x)**4)**(3/2),x)

[Out]

Integral(coth(x)/(a + b*coth(x)**4)**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\coth \left (x\right )}{{\left (b \coth \left (x\right )^{4} + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(coth(x)/(a+b*coth(x)^4)^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(coth(x)/(b*coth(x)^4 + a)^(3/2), x)